Das "Nichts" - eine reEvolution der Mathematik?

"Nichts" ist gegenwärtig in Mathematik und Logik nicht definiert. Anscheinend wird es nicht benötigt, die Mathematik feiert auch ohne diesen Term phänomenale Erfolge. Aber das ist ein Trugschluss. In Wirklichkeit ist das "nichts"- unerkannt - ein fundamentaler Baustein. Die Offenlegung der Bedeutung des "nichts" in Mathematik und Logik ermöglicht eine reEvolution der Grundlagen. Die Null spielt dabei die entscheidende Rolle.

Fake mathematics?

Sie sind auch genervt von ‘fake news’ ?
Dann könnten Sie die Aussage “die 0 ist keine Zahl, sondern das Zeichen dafür, dass an ihrer Stelle keine Zahl existiert” genervt als ‘fake mathematics’ ausblenden. Denn jeder geht davon aus, dass die 0 eine Zahl sei. Aber die obige Aussage war drei Jahrtausende lang gültig. Die Frage ist, warum und ob die Definition zu Recht geändert wurde.

Die Null symbolisierte von den Babyloniern über die Inder und anfangs auch bei den Europäern eine leere Stelle, “nichts” im Sinn der obigen Aussage. In Europa wurde das Dezimalsystem Jahrhunderte lang gemieden, da das “nichts” der Mathematik mit dem metaphysischen Nichts gleichgesetzt und deshalb abgelehnt wurde. Aristoteles hatte das Nichts als nicht existent, Augustinus sogar als teuflisch, verworfen. In einem schwierigen Prozess voll Irrungen und Wirrungen wurde “nulla figura”, “keine Ziffer” im 16. Jahrhundert zum Gegenteil, “figura”, “Ziffer” umgewandelt. Die wahre Bedeutung wurde in ihr falsches Gegenteil verkehrt.

Sie sind noch nicht überzeugt? Ihnen fallen weitere Argumente ein, warum die 0 doch als Zahl fest-gelegt werden könne? Sie werden in dem Buch “Nichts”, Krise und reEvolution der Grundlagen der Mathematik diskutiert. Letztlich entscheidend ist, dass “die 0 ist eine Zahl, etwas” das tertium non datur verletzt. Die Negation, "die 0 ist keine Zahl, ‘nichts’ " muss beibehalten werden.

Auswirkungen

Die widersprüchliche Festlegung der 0 zeigte lange keine Auswirkung, da der “Zahl 0” kein Wert zugeschrieben wird. Die phänomenale Entwicklung der Mathematik wurde nicht beeinträchtigt. Erst in der Mengenlehre, vor allem der Begründung des Transfiniten, wurde die Fehlentwicklung virulent.

Die Mathematik des Unendlichen

Das Unendlichkeitsaxiom setzt die 0 als Zahl voraus. Auch die “leere Menge Æ” ist eine Prämisse dieses Axioms. Die wahre Bedeutung von 0 und Æ, “nichts”, “keine Zahl” bzw. “kein Element”, widerlegt sowohl die Existenz der “leeren Menge” wie auch das Unendlichkeitsaxiom. Cantors transfinite Mengen und Zahlen existieren nicht.

Unvollständigkeit der Theorie der natürlichen Zahlen

Die von Gödel geforderte Unvollständigkeit der Theorie der natürlichen Zahlen gilt als unwiderlegbar. Deren Widerlegung könnte als ‘fake logic’ missdeutet werden. Aber die Restitution des “nichts”, das gegenwärtig in Mathematik und Logik nicht definiert ist, ermöglicht eine Beweisführung, die bisher nicht zugängig war. Sätze über etwas, das “nicht existiert”, werden durch äquivalente Sätze über “nichts” bewiesen.

Gödel hat einen Satz konstruiert, für den kein Beweis durch eine Sequenz existiert. Aber ein Beweis ohne Sequenz, durch “nichts” der Beweisführung, wird jetzt möglich, wie in dem Buch gezeigt wird. Unentscheidbarkeit und Unvollständigkeit werden aufgehoben. Gödels Aussagen, die die Unentscheidbarkeit durch eine Sequenz demonstrieren, bleiben aber gültig. Der Autor beweist dagegen die Entscheidbarkeit von Gödels Satz ohne Sequenz, durch “nichts”.

Die Planck-Länge

Eine weitere fundamentale Revision der Grundlagen wird vorgenommen. Seit Euklid wird die unendliche Unterteilung der Strecke mit der Konsequenz reeller Zahlen mit unendlicher Stellenzahl vorausgesetzt. Tatsächlich wird die Unterteilung durch die Planck-Länge begrenzt, dementsprechend können auch keine Dezimalbrüche mit unendlicher Stellenzahl gefordert werden. Alle reellen Zahlen sind rational, irrationale Zahlen existieren nicht. Auch der Grenzwert der Analysis als kleinste Schranke einer unendlichen konvergierenden Folge existiert nicht. Er wird durch das endliche Limit ersetzt, das aus der Limitierung der Folge als Konsequenz der Planck-Länge folgt.

Das “Nichts” widerlegt den Platonismus, auch in seiner mathematischen Form

Das Axiomensystem ZFC gründet auf den oben skizzierten falschen metaphysischen Voraussetzungen. Sie sind rationalistisch und widersprechen der Empirie. Kant hat den Gegensatz von Rationalismus und Empirismus in seiner Transzendentalphilosophie überwunden. Er fordert Erkenntnis auf der Grundlage angeborener Verstandeskategorien die der Empirie genügen. Ein revidiertes grundlegendes Axiomensystem der Mengenlehre wird gemäß Kants Kriterien erstellt. Die weiterführende reine Mathematik, z.B. der Relativitäts- und Quantentheorie, greift aber über Kant hinaus.
Platon fordert ewige Ideen, die als Urbild der vergänglichen Welt zugrunde liegen. Das Nichts existiert nicht, aber der Begriff “Nichts” existiert als Objekt des menschlichen Verstandes. Ein Urbild Nichts in der vom Menschen unabhängigen Ideenwelt existiert aber nicht. Das “Nichts” widerlegt den Platonismus, auch in seiner mathematischen Form.