Verfahren zur Analyse und Synthese quasioptischer Komponenten und Systeme

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Das grundlegende Problem der quasioptischen Strahlformung ist die gezielte Wellenfrontumwandlung
des elektromagnetischen Feldes. Zur Wellenfrontumwandlung dienen quasioptische
Komponenten wie Gitter, Phasenelemente und Spiegel oder deren kombinierte Anordnung zu
einem quasioptischen System. Mit der vorliegenden Arbeit werden Verfahren zusammengetragen,
die sich sowohl zur Analyse als auch Synthese dieser Komponenten eignen. Ferner wird
ein Syntheseverfahren vorgestellt, mit dem sich das oben erwähnte Problem der Strahlformung
lösen läßt.
Konkret werden im Analyse- und Synthese-Teil dieser Arbeit die folgenden Punkte behandelt:
Komplexe Punktquellen, Rayleigh-Sommerfeld-Beugungsintegral, Verfahren der diskreten
Singularitäten, Physikalische Optik, Verfahren der verkoppelten Wellen, Invertierungsregeln
von Li, Gerchberg-Saxton-Algorithmus, Analytische Strahlformung, BFGS-Verfahren,
LBFGS-Verfahren.
Die komplexen Punktquellen sind geeignet, um Aperturstrahler zu modellieren. Mit komplexen
Punktquellen liegen analytisch exakte Lösungsformeln vor, die im ganzen Raum gültig
sind. Das Rayleigh-Sommerfeld-Beugungsintegral sowie dessen numerische Umsetzung wird
behandelt, da es eine Grundaufgabe ist, die Wellenausbreitung zwischen zwei Ebenen eines
quasioptischen Systems zu berechnen. Das Verfahren der diskreten Singularitäten wird vorgestellt,
da es eine hochgenaue Berechnung von Spiegelsystemen im zweidimensionalen Fall
erlaubt. Allerdings ist es mit den heutzutage erhältlichen Rechenleistungen gegenwärtig noch
ungeeignet, um im dreidimensionalen Fall zur Synthese eingesetzt zu werden. Deshalb wird
als Alternative die Physikalische Optik behandelt. Obwohl es ein Näherungsverfahren ist, lassen
sich mit diesem Verfahren glatte Spiegel im dreidimensionalen Fall recht genau berechnen.
Das Verfahren der verkoppeltenWellen ist zweckmäßig, um die wichtige Klasse der Rechteckgitter
zu berechnen. Hierbei werden sowohl ideal leitende als auch dielektrische Gitter behandelt.
Speziell bei der Behandlung dielektrischer Gitter in H-Polarisation treten seit Jahrzehnten
Konvergenzprobleme auf, die sich aber durch Befolgen der angesprochenen Invertierungsre
geln von Li beheben lassen. Um einen Überblick auf die aus der Optik bekannten Syntheseverfahren
zu geben, werden der Gerchberg-Saxton-Algorithmus zur Phasenrückgewinnung und
die Analytische Strahlformung beleuchtet. Den Synthese-Teil abschließend werden das BFGSVerfahren
und dessen speichereffizientere Variante, das LBFGS-Verfahren, behandelt, da diese
beiden Quasi-Newton-Verfahren in dem vorgestellten Syntheseverfahren verwendet werden.
Darüber hinaus werden in dieser Arbeit die folgenden neuen Verfahren entwickelt:
Schnelle Fernfeldnäherung kombiniert mit Physikalischer Optik. Die Schnelle Fernfeldnäherung
ist ein Verfahren, das ursprünglich erdacht worden ist, die Auswertung von Integralgleichungen
in Streuproblemen – ähnlich den Schnellen Multipolverfahren – zu beschleunigen.
In dieser Arbeit wird die Schnelle Fernfeldnäherung mit der Physikalischen Optik kombiniert,
um die Analyse dreidimensionaler Spiegel zu beschleunigen. Letztlich wird hierdurch das Ziel
erreicht, die Rechendauer des vorgestellten Syntheseverfahrens bei der Auslegung von Doppelspiegelsystemen
deutlich zu reduzieren.
Integrales Verfahren für Volumengitter. Dieses Verfahren erlaubt die Analyse von Gittern
mit beliebigen Profilen, die aus einem inhomogenen Material bestehen. Es basiert auf einem
gekoppelten Integralgleichungssystem, wobei die Kerne der vorkommenden Integrale vom
Picard-Typ sind. Aufgrund dieser besonderen Eigenschaft werden in dieser Arbeit Rekursionsformeln
vorgestellt, mit denen sich diese Integrale mit nahezu linearer Rechenkomplexität sowie
mit linearem Speicheraufwand berechnen lassen. Somit ist dieses Verfahren ideal geeignet,
um das bei einer numerischen Umsetzung resultierende Gleichungssystem iterativ zu lösen.
Ferner wird für die E-Polarisation ein leistungsfähiger Präkonditionierer vorgestellt.
Syntheseverfahren zur quasioptischen Strahlformung. Das vorgestellte Verfahren erlaubt es,
die Oberflächenfunktionen von quasioptischen Komponenten und Systemen so zu bestimmen,
daß eine gezielteWellenfrontumwandlung des elektromagnetischen Feldes vorgenommen werden
kann. Dazu werden auf allen interessierenden Flächen Skalarprodukte und deren induzierte
Normen eingeführt, und auf der Ausgangsebene bzw. fläche wird ein Zielfunktional definiert.
Die Abhängigkeiten der elektromagnetischen Felder zwischen diesen Flächen lassen sich durch
Integraloperatoren erfassen, die selbst wiederum von dem angewendeten Analyseverfahren abhängen.
Zur Minimierung des Zielfunktionals wird mit Hilfe der Variationsrechnung der analytische
Gradient nach den zu bestimmenden Oberflächenfunktionen ermittelt. Der entscheidende
Schritt hierzu liegt in der Umformung der ersten Variation in Richtungsableitungen bzw. Skalarprodukte
von partiellen Ableitungen und Variationen der Oberflächenfunktionen. Hierbei
bilden die partiellen Ableitungen die Komponenten des analytischen Gradienten und existieren
jeweils auf den zu bestimmenden Oberflächen. Mit den so ermittelten Ableitungen besitzt man
die wertvolle Information darüber, wie die Oberfläche in jedem Punkt zu ändern ist, damit das
Zielfunktional im Wert verkleinert werden kann. In einer anschließenden numerischen Umsetzung
auf einem Rechner lassen sich infolgedessen die Oberflächenfunktionen und analytischen
Gradienten beliebig fein diskretisieren. Allerdings gilt es auch, ein Gradientenverfahren zu finden,
das die sehr große Anzahl zu optimierender Variabler bewältigen kann. Hierzu ist das
ausführlich dargelegte LBFGS-Verfahren gut geeignet. Um die Glattheit der optimierten Oberflächenfunktionen
zu kontrollieren, werden zwei Arten der Glättungen durchgeführt. Mit einer
Tiefpaßfilterung der Oberflächen lassen sich diese gewissermaßen global glätten, während sich
mit einer gleitenden Durchschnittsfilterung die Oberflächen lokal glätten lassen. Letztere Variante
bietet den Vorteil, daß man nur die Gebiete der Oberflächen zu glätten braucht, in denen
der Krümmungsradius eine vorher definierte Schranke unterschreitet.
Im Kapitel 5 Quasioptische Strahlformung wird zunächst das Syntheseverfahren beispielhaft
auf ideale Phasengitter angewendet, die sowohl im ein als auch im zweidimensionalen
Fall als Strahlteiler für das Fernfeld ausgelegt werden. Die erzielten Wirkungsgrade der Teiler
liegen in der Regel weit über 90%. Anschließend wird darauf eingegangen, wie sich Rechteckgitter
als Strahlteiler und Sternkoppler mit sehr hohen Wirkungsgraden dimensionieren lassen.
Die dielektrischen Rechteckgitter werden hierzu mit einer Evolutionsstrategie optimiert, während
die nur von der Höhe und der Breite der Rille abhängigen Zielfunktionen der betrachteten
ideal leitenden Rechteckgitter graphisch ausgewertet werden. Ebenso wird auf das quasioptische
3dB-Hybrid eingegangen. Es wird gezeigt, wie sich dieses durch ein Gitter oder im
einfachsten Fall durch eine dielektrische Platte verwirklichen läßt. Schließlich wird im Rahmen
des vorgestellten Syntheseverfahrens der analytische Gradient zu einem Doppelspiegelsystem
hergeleitet. Dieses Doppelspiegelsystem bildet einen quasioptischen Strahlformer, der
sich dementsprechend allgemein mit Hilfe des Syntheseverfahrens auslegen läßt.
Als wichtiger Sonderfall eines Strahlformers ist dieses Doppelspiegelsystem mehrmals unter
Berücksichtigung des Problems des Elementabstandes als quasioptischer Leistungsaddierer
bzw. -teiler bei einer Betriebsfrequenz von 150 GHz ausgelegt worden. Zur Verifizierung der
ausgelegten Doppelspiegelsysteme wird ein vektorielles Feldmeßsystem eingesetzt. Stellvertretend
für die unterschiedlichen Entwürfe werden die berechneten und gemessenen Feldbilder
eines 3 × 3-Leistungsaddierers verglichen, wobei sich eine sehr gute Übereinstimmung feststellen
läßt.