Wellenmodale Analyse von Ketten aus diskreten Mehrgrößensystemen

Bewertung von Verfahren der Ermittlung von Eigenschwingungen

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Das Strukturverhalten mechanischer und elektrischer Systeme ist seit Jahren Forschungsgegenstand am Institut für Mechanik der TU Berlin. Neben der bloßen numerischen Simulation mit Hilfe unterschiedlicher Diskretisierungsverfahren wird dabei einerseits besonderes Augenmerk auf die Beziehungen zwischen diskreten und entsprechenden kontinuierlichen Systemen gerichtet und anderseits erfolgt die Behandlung mechanischer und elektrischer Systeme in weitestgehend gemeinsamer Vorgehensweise, so dass Analogien aufgedeckt und genutzt werden.

Diskrete kettenartige Strukturen können unmittelbar oder in ausgezeichneten Betriebsbereichen als Ersatz für Kontinua Verwendung finden. In dieser Arbeit werden Analyseverfahren diskreter linearer Ketten bereitgestellt, die es bei einem Schnittfreiheitsgrad größer eins ermöglichen, Eigenschwingungen als Linearkombinationen von Wellenmoden (eigentlichen Wellenmoden, monotonen und oszillierenden Nahfeldmoden) zu entwickeln. Durch die Zuordnung der Eigenschwingungen von Randwertproblemen räumlich begrenzter Systeme zu harmonisch erregten Wellenzuständen in mindestens einseitig unendlichen Systemen können Randbedingungen zweckmäßig klassifiziert werden. Für spezielle Randvorgaben, sogenannte „wellen-anständige” Lagerungen, können die modalen Schwingungsgrößen (Eigenfrequenzen, Eigenformen) homogener Ketten für beliebige Elementzahlen mit gleichem rechnerischen Aufwand gebildet werden, ohne das Schwingungs-Eigenwertproblem jedesmal zu lösen. Außerdem können sowohl die bei diskreten Systemen auftretenden Verdichtungen in den Spektren der Frequenzen als auch das Vorhandensein von Frequenzlücken mit der wellenmodalen Analyse erklärt werden. Die Beiträge der einzelnen Wellenmoden zu den Eigenformen werden durch Angabe des Anteils ihrer Energie an der Gesamtenergie der Eigenschwingung gewichtet. Das spezielle Diskretisierungsverfahren kann für die linearen Systeme, die den Grenzfall nichtlinearer Modelle bilden, frei gewählt werden. Die vorgestellten Methoden erlauben quantitative Bewertungen bei der Wahl des jeweiligen Diskretisierungsverfahrens sowie der notwendigen Elementanzahl auch für inhomogene Ketten. Mögliche Anwendungsgebiete der Analysen sind u.a. im Bereich der Mechanik (Kristallphysik), Elektrotechnik (Mehrfach-Kettenleiter), Akustik (Schalldurchlässigkeit und -abstrahlung), Chemie (Molekül-Ketten im Verbund) und Optik (diskretisierte Lichtwellenleiter) anzutreffen, s. beispielsweise K. Altenburg und S. Kästner für den Schnittfreiheitsgrad eins.

Die entwickelte Methode wird durch zahlreiche Beispiele untermauert, die die neuen Sichtweisen verdeutlichen. Als diskretisierte Systeme werden Massenpunkt- und Mehrkörpersysteme sowie Finite-Elemente-Modelle eingesetzt.