Spectral Properties of a Class of Analytic Operator Functions and Their Linearizations

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Die Dissertation von Carsten Trunk untersucht die spektralen Eigenschaften einer Klasse analytischer Operatorfunktionen und deren Linearisierungen in Krein-Räumen.
Im Mittelpunkt stehen die Beziehungen zwischen einer parameterabhängigen Operatorfunktion und einer zugehörigen selbstadjungierten Operatormatrix.
Dabei werden insbesondere das Spektrum, das Punktspektrum sowie Spektralpunkte positiven und negativen Typs analysiert.
Die Arbeit entwickelt einen theoretischen Rahmen zur Untersuchung relativ formkompakter Störungen selbstadjungierter Operatoren.
Eine zentrale Rolle spielt die Darstellung der inversen Operatorfunktion mithilfe der Resolvente einer geeigneten Operatormatrix.
Durch diese Linearisierung lassen sich spektrale Eigenschaften der ursprünglichen Operatorfunktion mit denen des zugehörigen Operators vergleichen.
Unter bestimmten Voraussetzungen werden Bedingungen für die Definisierbarkeit der Operatormatrix und der inversen Operatorfunktion hergeleitet.
Darüber hinaus untersucht die Dissertation Jordan-Ketten, spektrale Vielfachheiten und Minimalitätseigenschaften der linearisierenden Operatoren.
Besondere Aufmerksamkeit gilt der Übertragung von Spektralpunkten positiven und negativen Typs zwischen Operatorfunktionen und Operatormatrizen.
Die entwickelten Ergebnisse werden anschließend auf Sturm-Liouville-Probleme mit rationaler Abhängigkeit vom Eigenwertparameter angewendet.
Hierbei werden sowohl Differentialgleichungen auf beschränkten Intervallen als auch Probleme auf der positiven Halbachse betrachtet.
Zusätzlich werden Vorzeichenwechsel von Koeffizienten, kritische Spektralpunkte und unter geeigneten Voraussetzungen die Existenz von Riesz-Basen untersucht.
Die Ergebnisse erweitern die mathematischen Grundlagen zur Spektralanalyse analytischer Operatorfunktionen und ihrer linearen Darstellungen.