Färbungen von Distanzgraphen

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Sei D eine Menge positiver reeller Zahlen und S eine nichtleere Teilmenge des n-dimensionalen euklidischen Raums. Der Distanzgraph G(S,D) ist der Graph mit Knotenmenge S, in dem zwei Knoten genau dann benachbart sind, wenn ihr euklidischer Abstand in D enthalten ist.

Es werden verschiedene Arten von Färbungen von Distanzgraphen untersucht, unter anderem Knoten-, Kanten- und Totalfärbungen sowie die Listenversionen dieser Färbungen. Gelten gewisse Symmetriebedingungen, so ist Δ/2+1 eine obere Schranke für die (listen-) chromatische Zahl. Es wird gezeigt, dass die (listen-) kantenchromatische Zahl gleich Δ und die (listen-) totalchromatische Zahl ist gleich Δ+1 ist, wobei Δ den Maximalgrad des Distanzgraphen bezeichnet. Dadurch werden die Totalfärbungsvermutung, die Listenkanten- und die Listentotalfärbungsvermutung für eine Klasse von Distanzgraphen bewiesen. Zuletzt werden verallgemeinerte Färbungen untersucht, die durch Betrachtung von speziellen Grapheneigenschaften aus den klassischen Färbungen hervorgehen.

Let D be a set of positive real numbers and S a nonempty subset of the n-dimensional Euclidean space. The distance graph G(S,D) is the graph with vertex set S, and two vertices are adjacent if and only if their Euclidean distance is an element of D.

Different types of colorings of distance graphs are studied, among others vertex, edge, and total colorings and the list versions of these colorings. If some symmetry conditions are fulfilled, then Δ/2+1 is an upper bound for the (list) chromatic number. The (list) edge chromatic number is proved to be Δ, and the (list) total chromatic number to be Δ+1, where Δ is the maximum degree of the distance graph. Therefore, the total coloring conjecture, the list edge coloring conjecture and the list total coloring conjecture are proved for a class of distance graphs. Moreover, generalized colorings are considered which arise from the classical colorings by using specific graph properties.