Ein Integralgleichungszugang zu den Minimalvektoren von Marx und Shiffman

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Beschreibung

Ausgangspunkt unserer Betrachtungen ist das sogenannte Variationsproblem von Marx und Shiffman: Die Minimierung des Dirichlet-Integrals unter gewissen halbfreien, affin linearen Randbedingungen, welches in der Theorie der polygonal berandeten Minimalflächen seinen Ursprung hat. In der vorliegenden Arbeit etablieren wir einen konstruktiven Zugang zu jenen Marx-Shiffman’schen Minimalvektoren (Lösungen des obigen Variationsproblems). Dies gelingt durch einen von E. Heinz entdeckten Zusammenhang zum sog. Riemann’schen Problem der Funktionentheorie, das seinerseits in klassischen Arbeiten von David Hilbert und Josip Plemelj behandelt wurde. Wir greifen die alten Ideen auf und entwickeln eine vollständige Lösungstheorie für das Riemann’sche Problem. Es stellt sich heraus, dass dessen Lösungsgesamtheit auf einfache Weise darstellbar ist durch endlich viele Fundamentallösungen, welche im Prinzip mittels gewisser Ansatzfunktionen und Lösungen Fredholm’scher Integralgleichungen bestimmt werden können. Wir erhalten schließlich einen Satz über die Darstellung des Marx-Shiffman’schen Minimalvektors durch die Fundamentallösungen des zugehörigen Riemann’schen Problems.